Závěrečná zpráva grantu 016/1997/B-MAT/MFF

Název projektu:Projektivní limity a náhodné procesy
Hlavní řešitel:RNDr. Petr Lachout, CSc.
Spoluřešitelé: Prof., RNDr. Josef Štěpán, DrSc.; RNDr. Tomáš Kepka, DrSc.; Mgr. Daniel Hlubinka, Dr.; Mgr. Robert El Bashir, Dr.
Období řešení:1997-1999
Celková dotace:260 tis. Kč

Souhrn výsledků

V rámci projektu byla studována problematika náhodných procesů, jejich rozdělení pravděpodobnosti a asymptotické vlastnosti. Výzkum se dotkl několika oblastí. Jednou z řešených otázek byl popis a charakterizace vlastností nosiče sdruženého vektoru náhodných veličin v závislosti na nosiči podmíněného rozdělení. V tomto směru bylo dosaženo několika charakterizačních výsledků. Články [1], [2] jsou již publikovány a článek [8] je přijat do tisku.
Na tuto oblast bezprostředně navazuje momentový problém řešený pro martingalové míry. Výsledky v této oblasti jsou aplikovatelné ve stochastické analýze a ve finanční matematice. Články [6], [9] s výsledky v tomto směru jsou přijaté k publikaci v časopisech.
S problematikou projektivních limit náhodných procesů a jejího zobecňování je těsně spjato vyšetření struktury a vlastností speciálního typu komutativních pologrup. Zejména řešitelnost pologrupových rovnic má v této souvislosti zásadní význam. K výsledkům v této oblasti patří publikovaný článek [4] a článek v časopiseckém recenzním řízení [12]. Výsledky byly také presentovány na pravidelných seminářích zahraničních universit, [14],
[15], [16].
V rámci matematické statistiky jsou náhodné procesy využívány v teorii odhadů, kde umožňují studovat asymptotické vlastnosti odhadů. V tomto projektu je tento směr zastoupen publikovaným článkem [3] a článkem přijatým k publikaci [5]. Vlastnosti transformace odhadů multifunkcí, jako je řád konzistence, jsou řešeny v článku [7] přijatém k publikaci.
Pro asymptotiku a analýzu citlivosti úloh stochastické optimalizace, se ukazuje velmi důležitým umět vhodně popsat vhodnou konvergenci zdola polospojitých funkcí indukující stabilitu optimalizačních úloh. Nejvhodnějším kandidátem se jeví epi-konvergence. V rámci projektu jsme nalezli užitečný ekvivalentní popis epi-konvergence. Tento popis je lokální, což jej odlišuje od ostatních popisů používaných v literatuře. Náš návrh dokonce umožňuje epi-konvergenci rozdělit na dvě části, které představují bohatší a flexibilnější nástroje ke studiu úloh stochastické optimalizace. Výsledky v tomto směru jsou shrnuty v článcích [10], [11], které jsou v časopiseckém recenzním řízení. Toto téma bylo presentováno také přednáškami na konferencích, viz [13], [17].