Závěrečná zpráva grantu 164/1999/B-MAT/MFF

Název projektu:	Matematické a numerické metody řešení nestabilit tvárných materiálů
Hlavní řešitel:	Doc.RNDr. Josef Málek, CSc.
Spoluřešitelé:	Prof.RNDr. Jan Kratochvíl, DrSc.; Mgr. Jakub Škrobánek; Mgr. Vít Gregor; Mgr. Štěpán Verecký
Období řešení:	1999-2001
Celková dotace:	224 tis. Kč

Souhrn výsledků

Spontálně se vytvářející dislokační struktury rozhodují o plastických, únavových a lomových vlastnostech materiálů. Tvorba dislokačních struktur byla v projektu studována jako nestabilita plastické deformace v krystalických látkách. Model tvoří tři typy rovnic: rovnice plasticity krystalů, rovnice rovnováhy sil působících na skluzové dislokace a bilační rovnice pro hustotu uložených dislokací, které jsou ponejvíce ve formě dislokačních smyček. Smyčky jsou hlavní stavební kameny dislokačních struktur v počátečních stadiích deformace látek vytvářejících dislokační cely.

Záměrem projektu bylo:
    (i) specifikovat původně značně neurčitý, převážně kvalitativní tvar rovnic modelu,
    (ii) matematicky analyzovat systém rovnic modelu a navrhnout numerickou metodu řešení nelineární dvou-
         (případně tří-)rozměrné verze modelu.

Úspěchem byla nová formulace modelu v rámci teorie spojitého rozložení dislokací. Tato formulace představuje zlepšený způsob průměrování oproti klasické spojité teorii (hlavní změnou je rozdělení dislokační populace skluzové dislokace a dislokační smyčky, přičemž každá část je popisována vlastní hustotou a pohybovou rovnicí).

Další úspěch představuje podrobný popis elementárních mechanismů (shrnování smyček skluzovými dislokacemi, zpevňování smyčkami, drift smyček v gradientech napětí a vzájemné působení mezi smyčkami popisované jako difuze) na základě elastických interakcí mezi smyčkami a skluzovými dislokacemi. Ve spolupráci s kolegy z UCLA byly elastické výpočty doplněny a ověřovány počitačovou simulací těchto procesů.

Ve spolupráci s kolegy z Texas A&M University byla upravená verze modelu zakomponována do zobecněné teorie materiálů s přirozenými konfiguracemi. V této upravené verzi dislokační struktura vystupuje implicitně jako směs tvrdých (vysoká hustota dislokací) a měkkých (nízká hustota dislokací) složek. Teoretický model byl testován numericky na výpočtu odezvy modelu při cyklické plastické deformaci.

Pokus navrhnout a vyzkoušet numerickou metodu řešení modelu v případě rovinné deformace nebyl zcela úspěšný. Ačkoliv navržená metoda řešení dává fyzikálně uspokojivý typ strukturalizace v preferovaném směru pohybu smyček, ve směru kolmém má řešení chaotický tvar. Detailní analýza problému ukázala, že numerická metona a počitačový program jsou správně formulovány. Bylo zjistěno, že skrytý problém je v samotném modelu. Jedním ze zjednodušeních užitých při formulaci modelu je předpoklad, že smyčky lze pokládat za bodové objekty. Tento předpoklad způsobil v rovnicích modelu ztrátu difuzního členu ve směru kolmém na preferovaný směr.
V důsledku toho nežádoucí oscilace v kolném směru nejsou dostatečně tlumeny. Návrh fyzikálně zdůvoněné zlepšené verze modelu a její následná numerická i matematická analýza nebylo již možné uskutečnit.