Závěrečná zpráva grantu 269/2001/B-MAT/MFF

Název projektu:	Kombinatorika grup a multilineárních forem
Hlavní řešitel:	Doc. RNDr. Aleš Drápal, CSc.
Spoluřešitelé:	Doc. RNDr. Tomáš Kepka, DrSc.; Natalia Zhukavets; Mgr. Jan Hora; Mgr. Petr Vojtěchovský; Mgr. Antonín Jančařík
Období řešení:	2001-2003
Celková dotace:	641 tis. Kč

Souhrn výsledků

Cílem projektu bylo získat nové výsledky v oblasti Hammingových vzdáleností grup, alternujících trilineárních forem a obecně v teorii kvazigrup. Celkem bylo dokončeno 24 publikací, z nichž většina již vyšla nebo byla přijata k tisku. Množství výsledků je proto velké, a tudíž se níže popisují jen některé.
Hammingovy distance: Byly podrobně analyzovány konstrukce, které poskytují čtvrtinovou vzdálenost; např. v článku A.Drápala "Cyclic and dihedral constructions of even order", Comment. Math. Univ. Carolinae 44 (2003) 593-614. Jde o tzv. cyklickou a dihedrální konstrukci.
Článek A.Drápala „On groups that differ in one of four squares", Europ. J. Combinatorics (2002) 23, 899-918 ukazuje, že tyto konstrukce jsou v jistém smyslu univerzální.
Již dříve bylo známo, že 2-grupy, které mají menší než čtvrtinovou vzdálenost, jsou izomorfní. Článek A. Drápala „Near 2-groups yield an isomorphism with many fixed points", Discrete Mathematics 266 (2003) 217-228 ukazuje, že v takovém případě lze dokonce zvolit izomorfismus, který má alespoň 7/8 pevných bodů.
Další články se zabývají zobecněním cyklické a dihedrální konstrukce na Moufangovské lupy, podávají nový důkaz věty Frische/Dénes o izotopech grup s nejmenší vzdáleností, a rozvíjejí teorii latinských výměn (latin trades), kde je popsán obecný mechanismus dekompozice těchto struktur a jsou konstruovány 3- a 4-homogenní latinské výměny (homogennost znamená konstatní počet výskytů buněk v řádcích, sloupcích i hodnotách).
Trilineární formy: Jan Hora ve článku "Orthogonal decompositions and canonical embeddings of multilinear alternating forms", který vyšel ve významném časopise Linear and Multilinear Algebra, dokazuje, že v případě k-lineárních forem, kde k je alespoň tři, existuje vždy nejjemnější ortogonální dekompozice. To je významný výsledek, který jasně poukazuje na odlišnost chování vícelineárních forem od bilineárních.
Současně Hora dokazuje, že každá nedegenerovaná vícelineární alternující forma se dá obdržet jakožto forma působící na podprostoru nějaké mocniny determinantu (chápeme-li determinant jako multilineární formu).
Trilineární formy se vyskytují i ve výsledku T. Kepky (spoluautoři P. Němec a D. Herbera), kterým se završuje dlouhé úsilí autorů o nalezení nemediální distributivní hamiltonovské kvazigrupy. Hamiltonovská kvazigrupa je taková, která má všechny podkvazigrupy normální.
Autorům se podařilo dokázat, že nejmenší řád, kde uvedená struktura existuje, je 729, přičemž je určena až na antiizomorfismus jednoznačně. Při důkazu bylo použito několika obtížných transpozicí problému do jiných kontextů, zejména do kontextu kocyklických modulů. Propojení neasocitiavních binárních systémů s hlubokými výsledky v teorii modulů je ojedinělý postup svědčící o mimořádné erudici autorů.
P. Vojtěchovský přispěl řadou nových výsledků z teorie Moufangovských lup, a to novou interpretací nejmenší jednoduché Moufangovské lupy, důkazem 3-generovanosti všech jedoduchých konečných Moufangovských lup, a posléze důkazem jedinečnosti Cheinovy konstrukce grup M(G,2).
Poměrně krátký článek A. Drápala „Yet another approach to the extended ternary Golay code", Discrete Mathematics 256 (2002) 459-464 poskytl nový a krátký důkaz jednoznačnosti a existence ternárního Golayova kódu.