Kardinální charakteristiky Booleových algeber a topologických prostorů
Hlavní řešitel:
Prof. RNDr Petr Simon, DrSc
Spoluřešitelé:
Mgr. Eva Murtinová, PhD.
Období řešení:
2001-2003
Celková dotace:
204 tis. Kč
Souhrn výsledků
Práce na tomto grantovém projektu přinesla celkem 9 publikací. Tři z nich jsou články E. Murtinové, ve kterých vyřešila tři problémy A. V. Archangelského a L. Ludwiga, týkající se vztahu mezi jimi zavedenými slabšími oddělovacími axiomy a klasickými typu normalita a regularita. Jedná se o práce A beta-normal Tychonoff space which is not normal, A countable alpha-normal non-regular space a Remarks on dense subspaces. Protože uvedené problémy byly značně populární a řešení za dodatečných axiomů teorie množin již jiní autoři nalezli, definitivní odpovědi pouze v ZFC přinesly tehdy ještě PhD studentce nejen vlídné přijetí do matematické komunity, ale také pozvání na konferenci AMS na Novém Zélandě. Uvedené práce byly páteří její PhD disertace, obhájené roku 2002. Zbývajících 6 prací jsou práce P. Simona. Článek First countable extensions of regular spaces (spoluator G. Tironi) přináší novou metodu konstrukce pseudokompaktifikací, která umožňuje pracovat i se souvislými prostory a poskytuje dost vysoký stupeň kontroly struktury přírůstku. Nová metoda poskytla řešení řady otevřených problémů, mimo jiné i problému G.M. Reeda z roku 1976 a znovu položeného v monografii Open Problems in General Topology (1990), zda každý lokálně pseudokompaktní separabilní Mooreův prostor má Mooreovu pseudokompaktifikaci. Metoda rovněž umožnila sestrojit příklad pseudokompaktního prostoru se spočetnou těsnotou, který není slabě diskrétně generováný, což ukázalo, že ve větě Archangelského-Belly předpoklad spočetné kompaktnosti nelze oslabit na pseudokompaktnost, a příklad kompaktního pseudoradiálního prostoru, který není diskrétně generovaný. Oba výsledky jsou v práci Spaces which are generated by discrete sets (spoluautor A. Bella). Další hodnotný výsledek v tomto grantovém projektu se týká prostorů spojitých funkcí s topologií bodové konvergence, Cp(X). Prostor Cp(X) téměř nikdy není Lindelöfův. Klasická fakta: Je-li X separabilní metrický (Grothendieck 1952) nebo Corsonův kompakt (Sokolov 1985), pak Cp(X) je Lindelöfův. Nový výsledek R. Buzyakové (2003) říká, že prostor X, mající Cp(X) Lindelöfův, lze najít také jako podprostor libovolně velkého ordinálu s topologií danou uspořádáním. V práci Spaces of continuous functions over a Psi-space (spoluautor A. Dow) se podařilo nalézt další typ prostorů v podobě X = Psi-prostor od vhodného skoro disjunktního systému, kdy Cp(X) je také Lindelöfův. Markantní rozdíl proti předchozím prostorům spočívá v tom, že přidáním jednoho bodu se spočetnou těsnotou se Lindelöfovost prostoru spojitých funkcí zničí. Mimo tento hlavní výsledek obsahuje práce úplnou diskusi, jak vlastnosti Cp(X) závisejí na volbě skoro disjunktního systému a na dodatečných axiomech teorie množin. Článek No hedgehog in the product? (spoluautor G. Tironi) obsahuje částečné řešení problému T. Nogury o produktivitě vlastností alfa4 a Fréchetovosti. Úplné řešení už je známo, dal je S. Todorčevič roku 2003. Článek On the existence of true uniform ultrafilters odpovídá na problém W.W. Comforta, zda všechny body v Čechově-Stoneově kompaktifikaci diskrétního prostoru D lze získat iterováním uzávěru množin o menší mohutnosti než je mohutnost množiny D. Předpokládáná záporná odpověď je dokázána pro případ, kdy mohutnost množiny D je singulár se spočetnou kofinalitou. Konečně, článek Fréchet and sequential spaces je heslo v knize Encyklopedia of General Topology, vyžádané editory této knihy. Výsledky, získané při práci na tomto grantovém úkolu, byly autory referovány na mezinárodních konferencích v Praze, Aucklandu, Brixenu, New Yorku, Washingtonu a v Budapešti, na seminářích v Terstu, Catanii, Greensboro a v Charlotte, a na třech ročnících Zimních škol z abstraktní analýzy.