Topologická a geometrická struktura Banachových prostorů
Hlavní řešitel:
RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D.
Spoluřešitelé:
Mgr. Jan Rychtář;
Mgr. Michal Johanis
Období řešení:
2001-2003
Celková dotace:
316 tis. Kč
Souhrn výsledků
V rámci projektu bylo napsáno celkem 18 původních článků (z nich 16 již vyšlo či bylo přijato, z toho 15 v zahraničních časopisech) a 2 přehledové články do sborníku. Výsledky byly prezentovány na celkem 15 přednáškách na konferencích (z nich 12 na konferencích s mezinárodní účastí, z toho dvě zvané přednášky). Nejdůležitější výsledky jsou shrnuty v následujících bodech: (1) Banachův prostor je reflexivní, právě když na něm existuje ekvivalentní slabě 2-rotundní norma. (2) Každé lipschitzovské zobrazení separabilního Banachova prostoru do libovolného Banachova prostoru lze aproximovat lipschitzovskými zobrazeními, která jsou navíc g\^ateauxovsky diferencovatelná. To zobecňuje dřívější výsledek Bogacheva a Shkarina, kteří toto tvrzení dokázali pro případ, že cílový prostor má Radon-Nikodýmovu vlastnost. (3) Pokud Banachův prostor obsahuje c_0 a existuje na něm C^k bump funkce, pak lze každou spojitou funkci na něm aproximovat C^k funkcí, obor hodnot jejíž derivace je první kategorie. (4) Je-li X Banachův prostor se separabilním duálem a A analytická podmnožina duálu taková, že každý její prvek může být spojen s 0 křivkou vedoucí vnitřkem A, pak existuje C^1 funkce na X s omezeným nosičem, obor hodnot jejíž derivace je přesně A. (5) Za dodatečných axiómů teorie množin existuje slabě Asplundův Banachův prostor, jehož duál není ve Stegallově třídě. Navíc, za jiných dodatečných axiómů existuje slabě Asplundův Banachův prostor, jehož duál není ve Stegallově třídě a zároveň jiný Banachův prostor, jehož duál není ve Stegallově třídě, ale je fragmentovatelný. (6) Existuje Banachův prostor X, jehož duální koule je Valdiviův kompakt, a přitom X nemá projekční rozklad identity. (7) Byl zaveden pojem bodově uniformně rotundní normy,který umožnil dokázat několik výsledků o normách uniformně konvexních v každém směru (URED): Je-li K scattered Eberleinův kompakt, pak na C(K)* existuje ekvivalentní duální URED norma, totéž platí pro duál k Johnson-Lindenstraussovu prostoru JL_2. (8) V prostoru s bodově uniformně rotundní normou je každá slabě kompaktní množina uniformně Eberleinova. C(K) má bodově uniformně rotundní normu, právě když na K existuje striktně pozitivní míra. Je-li K fragmentovaný kompakt, existuje na C(K)* ekvivalentní bodově uniformně rotundní norma, je-li K dokonce deskriptivní, lze nalézt takovou normu duální. (9) Prostor spojitých funkcí na [0,omega_2] nemá spočetně normující Markuševičovu bázi. (10) Třída spojitých obrazů Valdiviových kompaktů má přirozenou netriviální podtřídu, která je stabilní vůči uzavřeným podprostorům. Patří do ní například prostory [0,alpha] pro alpha<omega_2 a prostory pravděpodobnostních měr na nich. (11) Kompaktní prostor, který lze pokrýt spočetně mnoha Corsonovými spočetně kompaktními prostory, má hustou množinu G-delta bodů. (12) Prostor konečných znaménkových Radonových měr na absolutně borelovském (čechovsky analytickém) prostoru je opět absolutně borelovský (čechovsky analytický). (13) Je-li 1<p<\infty a pozitivní kužel prostoru l_p se izomorfně vnořuje do Banachova prostoru X, pak X obsahuje izomorfní kopii l_p. Totéž platí pro obsahování c_0.