Úvod do teorie struktur

Anotace

Je studován pojem struktury pro jazyk 1. řádu. Jsou vysloveny definice splňování a platnosti formule ve struktuře. Jsou ukázány tři základní konstrukce struktur: podstruktura, faktorová struktura a kartézský součin struktur. U každého typu konstrukcí jsou pak studovány formule, jejichž platnost se uvedenou konstrukcí zachovává.

Sylabus
  1. STRUKTURY A ALGEBRY
    • Relace a operace na množině: Relace a operace četnosti n>= 1, nulární operace.
    • Struktury a algebry: relační a operační symboly, konstanty, jazyk, struktura pro jazyk 1. řádu, triviální struktury, konečné struktury, typ, algebra daného typu, redukt struktury na jazyk, diskuse různých definic struktury.

  2. MORFISMY
    • Morfismy struktur: (homo)morfismus, injektivní a surjektivní morfismus, izomorfismus, inverzní izomorfismus, inverzní struktury, endomorfismus, automorfismus, homomorfní obraz struktury.
    • Vnoření: poduniverzum struktury, vnoření.

  3. TERMY A FORMULE
    • Termy: proměnné, term, konstantní term.
    • Formule: symbol rovnosti, identity, atomická formule, formule daného jazyka, volné proměnné, uzavřené formule (sentence), uzávěr formule.

  4. SPLNĚNOST A PRAVDIVOST FORMULE
    • Ohodnocení ve struktuře: struktura termů daného jazyka, ohodnocení ve struktuře, volná struktura nad množinou, absolutně volná struktura.
    • Splněnost formule při ohodnocení
    • Pravdivost formule ve struktuře: formule pravdivá ve struktuře, ekvivalentní formule, elementárně ekvivalentní struktury.

  5. ALGEBRY S GRUPOVOU OSNOVOU
    • Grupoidy a grupy: grupoid, pologrupa, polosvaz, monoid, grupa, Abelova grupa.
    • Okruhy a tělesa: okruh, asociativní okruh s jednotkou, okruh bez dělitelů nuly, obor integrity, těleso, kvaterniony.
    • Algebraicky uzavřená tělesa: polynom nad tělesem, stupeň polynomu, kořen polynomu, násobnost kořene, algebraicky uzavřené těleso, základní věta algebry.
    • Lineární prostory:

  6. SPLŇOVÁNÍ V HOMOMORFNÍCH OBRAZECH
    • Zachování splněnosti formule zobrazením a morfismem: zobrazení zachovávající splněnost formule.
    • Zachování splněnosti surjektivním morfismem: pozitivní formule.
    • Zachování splněnosti vnořením: otevřené formule.

  7. PODSTRUKTURY
    • Podstruktury: podstruktura, podalgebra.
    • Generování podstruktur: poduniverzum generované množinou, jeho "vnitřní" popis, množina generátorů struktury, konečně generovaná struktura.

  8. FAKTOROVÉ STRUKTURY
    • Rozklady a ekvivalence na množině: rozklad množiny, ekvivalence, třídy rozkladu (ekvivalence) určené prvkem, faktorová množina, faktorové zobrazení.
    • Faktorové struktury: kongruence struktury, triviální kongruence, faktorová struktura, faktorový morfismus.
    • Normální podgrupy: rozklad grupy podle podgrupy, index podgrupy, normální podgrupa, jednoznačná korespondence mezi kongruencemi a normálními podgrupami, Lagrangeova věta, jednoznačná korespondence mezi kongruencemi a ideály v okruhu.
    • Věty o izomorfismu: 1. věta o izomorfismu pro algebry, 2. a 3. věta o izomorfismu pro grupy.

  9. KARTÉZSKÉ SOUČINY
    • Kartézský součin struktur
    • Splňování v kartézských součinech: princip maxima, Hornovské formule, splňování Hornovských formulí.

Literatura

Ježek J.: Univerzální algebra a teorie modelů, SNTL 1976

Matoušek M. Úvod do teorie struktur, Praha 2001, předběžný učební text

Poslední úprava: 3. 12. 2005 Milan Matoušek