Chaos přehledně

Co je to chaos?

Svět popsaný jednoduchými zákony ještě nemusí být jednoduchý, jak je patrné z obrázků fraktálů. Tento fenomén - když z jednoduchých rovnic dostáváme složité výsledky - se nazývá chaos.

Teorie chaosu tedy není teorií o nepořádku. Nepopírá determinismus, netvrdí, že uspořádané systémy jsou nereálné. Neznevažuje vědecké experimenty ani neříká, že modelování složitých soustav je k ničemu.

Myšlenka chaosu se opírá o následující tvrzení:

1. Malé změny v systému mohou způsobit velké fluktuace.
2. Nelze přesně určit stav nějakého systému (polohy a rychlosti jednotlivých atomů ap.)
3. Naopak je jednoduché popsat chování systému jako celku.

Chaotické iterace

Zdrojem řady chaotických zábav jsou různé funkce a posloupnosti, které jsou těmito funkcemi zadány:

cos(cos(cos(...cos(cos(seed))...)))

velmi rychle konverguje k 0,7390851332 rad pro seed mezi 0 a 1

tan(tan(....))

v radiánech vykazuje intermittenci - na první pohled konverguje, ačkoli stále roste, byť o velmi malé hodnoty

ve stupních naopak trvale klesá

x² - 1

chová se periodicky, nejprve bude konvergovat k 0 nebo k 1 a jakmile k tomu dojde, začne pravidelně střídat hodnoty 0 a -1 (neboť 0² - 1 = -1 a (-1)² - 1 = -1)

Domnívám se, že jde částečně o podvod. Při výpočtu hodnot členů posloupnosti jsme vždy omezeni přesností digitálního zápisu reálných čísel. A známý příklad (z ústní prezentace v minulém semestru) hovořil o Lorenzovi a systému simulujícím počasí - a o počtu desetinných, jež rozhodl o zcela jiném chování celého systému

Vlastně je snadné ukázat chaotický podvod. Podívejte se nějakým zkreslujícím přístrojem (třeba počítačem) na nějakou periodickou funkci - v našem příkladu x*(sin(x)+1) a zvětšujte a zvětšujte při mizerném rozlišení. Za chvíli uvidíte rádoby fraktál. Chaos je asi trošku alchymie.

Co je to fraktál?

Fraktál je geometrická konstrukce, která je sama sobě podobná při různých zvětšeních.

Fraktál bude vypadat skoro stejně, ať na něj budete hledět z jakékoli blízkosti.

Kanonickým příkladem fraktálu je:

Sierpinského trojúhelník

Konstrukce je jednoduchá:

Výsledek efektní:

Konstrukce i snadno programovatelná:

Postup, který zde uvádíme je čitelným přepisem z obecnější teorie "Iterated Function System" Michaela Barnsleyho, v níž se uvažují jednoduché transformace (matice, matice a zase matice) a pravděpodobnostní počet.

Inicializace: Zvol tři body v rovině (říkejme jim rohy)
Libovolně zvol počáteční bod (říkejme mu kukátko), nejlépe uvnitř plánovaného trojúhelníka, ale podmínkou to není.

Hlavní cyklus: Náhodně zvol jeden ze tří rohů.
Z kukátka veď myšlenou úsečku do zvoleného rohu.
Ve středu této úsečky nakresli bod (je to bod Sierpinského trojúhelníka).
Přesuň kukátko do tohoto bodu.

Opakuj do nekonečna.

Zkuste si sami tohle napsat na své grafické kalkulačce, uvidíte, jak je snadné oslňovat lidi obyčejnou kalkulačkou.

Pascalův trojúhelník

Vyčerněte si v Pascalově trojúhelníku lichá čísla...

...asi není, co dodávat.

Cantorova množina

Cantorova děravá množina je jiným pěkným příkladem fraktálu:

Úsečku rozděl na tři části.
Prostřední třetinu zahoď.
Zbylé dvě třetiny rozděl na třetiny, prostřední (devítiny) zahoď.

Opakuj do nekonečna.

Von Kochova křivka

Von Kochova křivka je známý fraktál, který ukazuje, že třeba délka pobřeží Anglie je nekonečná.

Obrázek najdete na odkazovaných stránkách.

Začni rovnostranným trojúhelníkem.

V prostřední třetině každé strany přilep rovnostranný trojúhelník.

Opakuj do nekonečna.

Tento útvar má konečnou plochu, ale nekonečný obvod.

V případě zmíněné Anglie si stačí představit, že pobřeží budeme měřit pořád přesněji a přesněji, začnete třeba se zálivy, pak zátoky, pak obemknete jednotlivé skály, pak i kameny, kamínky, zrníčka písku, molekuly, atomy, elektrony...

Mandelbrotova množina

Nejznámějším fraktálem je bezpochyby Mandelbrotova hruška objevená roku 1979.

Pověsný obrázek vzniká na komplexní rovině, zkoumáme-li pro dané komplexní číslo c chování posloupnosti s počátečním n₀ = 0:

n_n+1 = n² + c

Můžeme se například dohodnout, že body komplexní roviny s c takovým, že daná posloupnost rychle konverguje k nekonečnu, vykreslíme bíle na znamení, že leží mimo fraktál. Ostatní body vykreslíme černě.

Nebo můžeme přidat barvy - odlišit body, jejichž posloupnosti jsou nekonečně malé, poměrně malé, poměrně velké, nekonečně velké...

"Barevnější" obrázek najdete na odkazovaných stránkách.

Chaos v praxi

Chaos je jako každá jiná teorie ukryt v pozadí celé řady různých vědních oborů. Přináší pro ně především nový a zajímavý pohled - něco odlišného od klasických newtonovských představ - a kromě jiného i např. nové směry v zobrazování vědeckých údajů (místo běžných funkčních závislostí lze interpretovat křivky ve fázovém prostoru ap.)

Přímé praktické aplikace:

• Modelování biologických systémů (růst populace, epidemie, arytmický pacemaker)
• Modelování dalších systémů (obchody na burze, kapající kohoutek)
• Grafické aplikace (Fractal Design Painter, filmové efekty - realistické mraky, skály, stíny)
• Fraktálová komprese obrazu (zatím ve vývoji, slibuje kompresní poměr 1:600, protože složitý obrazec popíše jednoduchou rovnicí, z níž lze všechno vypočítat)
• Velmi zajímavá cesta, která přivede zvědavce ke krásám matematiky

Literatura a odkazy, barevné obrázky ap.

Making Order Out of Chaos, začíná pěkně historií, přes teorii k obrázkům a programům.

http://hyperion.advanced.org/12170/

Studentská stránka o chaosu, k pochopení netřeba matematiky

http://www.students.uiuc.edu/~ag-ho/chaos/chaos.html

Přehled anglické bibliografie, s užitečnými komentáři

http://www.students.uiuc.edu/~ag-ho/chaos/books.html

Altavista

Zadejte +chaos fractal a různá další slova